Berechnung der Zielhöhe

Bild 1: Trigonometrische Berechnung der Höhe

Darstellung der trigonometrischen Funktion

Bild 1: Trigonometrische Berechnung der Höhe

Berechnung der Zielhöhe

Unter Zielhöhe (oder Altitude) wird der Abstand eines Zieles über der Erdoberfläche (Höhe über Grund) verstanden. Sie wird in Gleichungen mit dem Buchstaben H bezeichnet. Die Höhe kann aus der Zielentfernung R und dem Höhenwinkel ε berechnet werden.

Der Sinus eines Winkels in einem rechtwinkligem Dreieck ist definiert als die Gegenkathete geteilt durch die Hypothenuse.

(1)

Mit R für die Hypotenuse, H für die Gegenkathete und ε für den durch die Radarantenne gemessenen Höhenwinkel ergibt sich:

H = R· sin ε

(2)

Bezogen auf ein reelles Flugziel lässt sich die Zielhöhe jedoch nicht so einfach berechnen, da die elektromagnetischen Wellen in der Atmosphäre an den Luftschichtübergängen (unterschiedliche Dichte) eine Brechung erfahren und die Erdoberfläche eine Krümmung aufweist. Denn die Berechnung der Zielhöhe ist nicht nur eine Winkelfunktionsberechnung in einem Dreieck, sondern es muss auch die für den Standort geltende Erdkrümmung berücksichtigt werden. Beide Faktoren werden in Radaranlagen mit integrierter Höhenberechnung durch aufwändige Formeln ausgeglichen. Eine häufig genutzte Näherung ist:

(3)

R = Schrägentfernung des Zieles
ε = gemessener Höhenwinkel
r_e = Erdradius (ca.: 6370 km)
(Diese Formel ist nur eine Annäherung!)

Bild 2: Einfluss der Erdkrümmung

Trigonometrische Zusammenhänge zwischen topografischer Entfernung und gemessener Schrägentfernung. Ein Dreieck mit den Punkten Erdmittelpunkt, Radargerät und Flugzeug.

Bild 2: Einfluss der Erdkrümmung

Der Einfluss der Refraktion wird meist durch Verwendung eines äquivalenten Erdradius r_ä = (4/3)·r_e für eine Standardatmosphäre angenommen. Vereinfacht wird dann der Erdradius mit 8500 km in die Gleichung (3) eingesetzt.

Berechnung der geografischen Entfernung

Aus dem Bild 2 kann man den Lösungsansatz entnehmen. Ein Dreieck zwischen den Punkten: Mittelpunkt der Erde, dem Standort des Radargerätes und dem Standort des Flugzieles, dessen Seiten durch den Kosinussatz und somit durch die Gleichung

R² = r_e² + (r_e + H)² - 2r_e(r_e + H)· cos α

(4)

verbunden sind (r_e ist hier der Erdradius). Diese Formel kann aufgelöst und der Winkel α bestimmt werden.

Unter der Annahme, dass die Erde eine Kugel sei, kann aus dem Winkel α das Teilstück des Erdumfanges schon mit einfacher Verhältnisrechnung aus dem gesamten Erdumfang berechnet werden.

360° · R_topogr. = α · 2π·r_e

(5)

Dieser Teilabschnitt des Erdumfanges kann als eine Annäherung (hier allerdings noch ohne eine Berücksichtigung der Refraktion) an die tatsächliche topografische Entfernung angesehen werden. Auch hier kann der Einfluss der Refraktion durch Verwendung eines äquivalenten Erdradius angenähert werden.

Höhenberechnung mit Berücksichtigung der Refraktion

In der Praxis unterliegt aber die Ausbreitung der elektromagnetischen Wellen auch noch einer Refraktion, das heißt, der Sendestrahl des Radargerätes ist keine geradlinige Seite dieses Dreiecks, sondern diese Seite wird zusätzlich auch noch gekrümmt in Abhängigkeit von

der Sendefrequenz,
des atmosphärischen Druckes,
der Lufttemperatur und
der Luftfeuchtigkeit.

Für eine annähernde Berechnung einer Höhe unter Berücksichtigung der Refraktion wird oft als äquivalenter Erdradius der praxisorientierte Wert R_Ä = ⁴/₃ ·r_e ≈ 8500 km eingesetzt. Ein zusätzlich oft manuell einzugebender Korrekturfaktor kann die sich zeitlich ändernden Ausbreitungsbedingungen (zum Beispiel abhängig der Wetterlage) berücksichtigen.

Die folgende Formel zum Beispiel wird für die Berechnung der Zielhöhe im PRW-16  verwendet:

Höhenberechnung im PRW-16: Die Gleichung in diesem Bild besteht aus vier Komponenten:
1. Schrägentfernung mal dem Sinus des Höhenwinkels (entspricht der Gleichung (2);
2. Korrektur der Erdkrümmung: addiert wird der Wert des Quotienten aus dem Quadrat der Schrägentfernung als Dividend und dem zweifachen äquivalenten Erdradius als Divisor. (Bis hierhin also wie die Gleichung (3);
3. nochmals addiert wird das Quadrat der Schrägentfernung multipliziert mit zwei Faktoren. Faktor 1 (hier als Komponente 3 bezeichnet) ist ein sehr kleiner Faktor im Bereich von zehn hoch minus sieben und berücksichtigt die Änderung der Refraktion der Atmosphäre abhängig von der Flughöhe;
4. Zweiter Faktor (hier als Komponente 4 bezeichnet) ist ein Temperaturkoeffizient, der durch eine automatische Messung des Rauschpegels bestimmt wird. Er liegt im Bereich von 0,8 und variiert um wenige Hundertstel abhängig von der Rauschzahl.

(6)

Dabei bedeuten die einzelnen Formelabschnitte:

Zielhöhe ohne Beachtung der Erdkrümmung;
der Einfluss der Erdkrümmung auf die Zielhöhe mit dem äquivalenten Erdradius von 8500 km (für eine Standardrefraktion);
Änderung der Refraktion in der Atmosphäre abhängig von der Flughöhe;
ein durch Rauschpegelmessung bestimmter Temperaturkoeffizient, der indirekt ebenfalls die Änderung der Refraktion beschreibt.